今回は、前回学んだa×０＝０を利用して、
（－１）×（－１）＝１を証明してみましょう！
証明
まずは、簡単な準備から
マイナスにマイナスをかけるとプラスになる、というのは有名な話ですが、
これもa×０＝０と同様、あたりまえなことではありません。
今回もこの問題は、今まで見てきた計算法則たちと、前回やった
a×０＝０も使って考えることができます。
さらに今回は、（－１）×（－１）＝１ではなく、
（－１）×（－１）＋（－１）＝０
をまずは証明していきます。
それでは、証明に入りましょう！
この証明もやはり前回と同様、一連の計算からなります。
何を示すかというと、
（－１）×（－１）＋（－１）＝０
の左辺
（－１）×（－１）＋（－１）
を分配法則などの「計算」によって０になることを見ていきます。
まず分配法則を持ち出します。
分配法則の式の形を思い出しながら（－１）をくくると、
（－１）×（－１）＋（－１）
＝（－１）×（－１）＋（－１）×１
=（－１）×（（－１）＋１）
となります。つまりここでは、
第２項の（－１）の外には「１」がついていると思いながら（－１）をくくり出したのです。
さらに計算を進めます。
今度はかっこの中の（－１）＋１の計算に入ります。当然
（－１）＋１＝０
となるので、これをさっきの計算式に入れれば
（－１）×（（－１）＋１）＝（－１）×０
となりますね。
最後に、a×０＝０×a＝０を思い出します。ここで、aは実数であれば何でも成り立つので、
特にここではaを（－１）と思いましょう。すると、
（－１）×０＝０
となります。
まとめよう！
今まで行った計算の一連の流れを書いてみましょう！すると
こんな感じになりますね。
（－１）×（－１）＋（－１）
＝（－１）×（（－１）＋１）
＝（－１）×０
＝０
最初の式と最後の式だけを取り出してみると
（－１）×（－１）＋（－１）＝０
となりました。
一見、（－１）×（－１）＝１ではないように見えますが・・・
今ここで示したのは（－１）×（－１）＋（－１）＝０であって、
（－１）×（－１）＝１ではありません。しかし、最後に一工夫をしてあげれば終わりです。
（－１）×（－１）＋（－１）＝０の両辺に１を足します。
これが、最後の一工夫です。
左辺は
（－１）×（－１）＋（－１）＋１
＝（－１）×（－１）＋（－１）＋１
＝（－１）×（－１）
右辺は０＋１＝１となります。よって、
（－１）×（－１）＝１
が証明できました。
やはりこの式においても、
「どの式の中でも（－１）×（－１）＝１を使っていない」
ということ注目しましょう。計算法則（主に分配法則）だけを使って
（－１）×（－１）の計算をし続けた結果、１にたどり着いた、ということを
この一連の計算式は示しているのです。
なので、（－１）×（－１）は決して当たり前に１ではなく、
このような計算式があることを覚えておきましょう！
また、この計算でも結合法則は出てきませんでしたが、
この証明をキッチリやろうとすると出てきます。
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